전계와 자계의 경계조건이란?
전계·자계의 경계조건은 서로 다른 매질이 만나는 경계면에서 전기장과 자기장이 어떻게 이어지는지를 정리한 규칙이다. 전기기사와 전기산업기사뿐 아니라 상위 수험 단계에서도 자주 엮여 나오는 주제라서, 맥스웰 방정식을 문제 풀이 형태로 바꾸는 첫 관문이라고 봐도 좋다. 핵심은 장 전체를 한 번에 보지 않고, 경계면 바로 위와 아래에서 수직 성분과 접선 성분을 나누어 생각하는 데 있다. 전계는 전속밀도와 전하의 관계가, 자계는 자속밀도와 전류의 관계가 경계조건의 출발점이 된다. 시험에서는 전계의 접선 성분 연속과 전속밀도의 수직 성분 불연속, 자계의 반대 짝을 서로 뒤바꿔 외우는 실수가 매우 흔하다.
경계조건이 중요한 이유는 유전체 접합, 도체 표면, 자기재료 접촉부처럼 실제 전력기기와 송배전 설비의 거의 모든 구조가 경계면을 포함하기 때문이다. 절연물 사이 전계 분포를 모르고서는 절연 설계를 할 수 없고, 철심과 공극 사이 자계 분포를 모르고서는 여자전류나 자속 누설을 제대로 다루기 어렵다. 또 반사, 굴절, 표면전하, 표면전류 같은 현상도 경계조건으로 간명하게 해석된다. 결국 경계조건은 장의 연속성과 불연속성을 판별하는 규칙이다.
경계면에서 장은 어떻게 달라질까
전계의 경계조건은 가우스 법칙과 순환 적분식에서 나온다. 경계면을 가로지르는 아주 얇은 원통 모양 폐곡면을 잡으면, 위아래 면을 통과하는 전속밀도 차이가 경계면의 표면전하밀도와 연결된다. 그래서 전속밀도의 수직 성분은 표면전하가 없으면 연속이고, 표면전하가 있으면 그만큼 점프한다. 반면 아주 작은 직사각형 폐회로를 경계면에 걸치면, 정전계에서는 전계의 접선 성분이 연속이어야 함을 얻는다.
자계는 이와 짝을 이룬다. 자속은 끊어지지 않으므로 자속밀도의 수직 성분은 항상 연속이다. 대신 앙페르 법칙을 경계면에 걸친 작은 폐회로에 적용하면, 자계의 접선 성분 차이는 표면전류밀도와 연결된다. 곧 표면전류가 없으면 자계의 접선 성분은 연속이고, 표면전류가 있으면 불연속이 생긴다.
재료 성질까지 포함하면 더 익숙한 형태가 나온다. 등방성 선형 매질에서 D = εE, B = μH 이므로, 표면전하가 없는 두 유전체 경계에서는 ε₁E₁n = ε₂E₂n, 접선 성분은 E₁t = E₂t 이다. 표면전류가 없는 두 자성체 경계에서는 B₁n = B₂n, H₁t = H₂t 이고, 따라서 μ₁H₁n = μ₂H₂n 같은 관계도 얻는다. 결국 어떤 성분이 연속인지, 어떤 물리량이 점프를 만드는지만 기억하면 대부분의 문제는 정리된다.
경계조건 식은 어떻게 유도될까
전계 경계조건을 먼저 적으면 다음과 같다. 수직 방향 단위법선을 n이라 할 때, n · (D₂ − D₁) = ρs 이다. 여기서 D는 전속밀도 단위 C / m², ρs는 표면전하밀도 단위 C / m² 이다. 정전계에서 접선 성분은 n × (E₂ − E₁) = 0 으로 쓸 수 있고, 이는 E₁t = E₂t 와 같다. E의 단위는 V / m 이므로 좌우변 단위도 일치한다.
자계 경계조건은 n · (B₂ − B₁) = 0, n × (H₂ − H₁) = Js 이다. B는 자속밀도 단위 T, H는 자계의 세기 단위 A / m, Js는 표면전류밀도 단위 A / m 이다. 둘째 식에서 H의 접선 성분 차이에 길이 성분을 곱하면 전류가 되므로 단위가 맞는다. 선형 매질이면 D = εE, B = μH 를 곱해 재료별 장 세기로 바꿔 계산한다.
간단한 유도는 얇은 원통과 얇은 사각 루프를 쓰면 된다. 가우스 법칙 ∮ D · dS = Q 에서 높이를 0에 가깝게 보내면 옆면 기여는 사라지고, 위아래 면만 남아 D₂nS − D₁nS = ρsS 이므로 D₂n − D₁n = ρs 를 얻는다. 정전계 순환식 ∮ E · dl = 0 에서 루프 높이를 0으로 보내면 수직 변 기여가 사라져 E₂tℓ − E₁tℓ = 0, 따라서 E₂t = E₁t 이다. 자계도 같은 방식으로, 다만 앙페르 법칙에서 둘러싼 전류가 표면전류로 남는다.
예제 1을 보자. 두 유전체 경계에 표면전하는 없고, ε₁ = 2ε₀, ε₂ = 5ε₀ 라고 하자. 매질 1에서 경계면 수직 전계가 E₁n = 100 V / m 이면, ε₁E₁n = ε₂E₂n 이므로 E₂n = ε₁ / ε₂ · E₁n = 2 / 5 · 100 = 40 V / m 이다. 단위는 V / m 로 유지된다. 유전율이 큰 쪽에서 수직 전계가 더 작아진다는 점이 물리적으로도 자연스럽다.
예제 2는 표면전하가 있는 경우다. 진공과 유전체 경계에서 D₁n = 3 μC / m², 표면전하밀도 ρs = 1 μC / m² 이면 D₂n = D₁n + ρs = 4 μC / m² 이다. 만약 매질 2의 유전율이 4ε₀ 이라면 E₂n = D₂n / ε₂ = 4 μC / m² / 4ε₀ = 1 μC / m² / ε₀ 이다. 수치로 쓰면 약 1.13 × 10⁵ V / m 수준이다. C / m² 를 F / m 로 나누면 V / m 가 되어 단위가 맞다.
예제 3은 자계다. 두 자성체 경계에 표면전류가 없고 μ₁ = μ₀, μ₂ = 4μ₀ 라고 하자. 경계면 접선 방향 자계가 H₁t = 80 A / m 이면, 표면전류가 없으므로 H₂t = 80 A / m 이다. 이때 자속밀도는 B₁t = μ₁H₁t = 80μ₀, B₂t = μ₂H₂t = 320μ₀ 이다. 접선 성분에서 연속인 것은 H이지 B가 아니라는 점이 자주 함정으로 나온다.
매질 경계에서 어떻게 적용할까
도체 표면은 가장 자주 등장하는 특수 경계다. 이상도체 내부 정전계는 0이므로 도체 표면 바로 바깥의 전계는 접선 성분이 0이고 수직 성분만 남는다. 따라서 전계선은 도체 표면에 수직으로 들어가거나 나온다. 이 사실은 고전압 전극 끝단에서 전계 집중을 논할 때 기본 전제가 된다.
평행한 유전체가 겹쳐 있는 절연 구조에서도 경계조건이 그대로 쓰인다. 층을 수직으로 통과하는 전속밀도는 표면전하가 없으면 같으므로, 각 층의 전계는 유전율에 반비례해 분담된다. 그래서 유전율이 작은 층에 더 큰 전계가 걸려 절연 파괴가 먼저 시작되기 쉽다. 케이블 절연, 부싱, 변압기 내부 절연에서 이 관점이 중요하다.
자계 쪽에서는 철심과 공극의 경계가 대표적이다. 자속밀도의 수직 성분은 연속이므로 같은 자속이 공극을 지나지만, 공극의 투자율이 매우 작아 H가 크게 필요하다. 결국 전체 자기저항의 대부분이 공극에서 생기고, 여자전류가 증가한다. 전동기, 변압기, 계전기 자로 설계에서 반복해서 만나는 내용이다.
전자파 입사 문제에서도 경계조건은 핵심이다. 경계면에서 전계 접선 성분과 자계 접선 성분을 맞추면 반사파와 투과파의 크기를 구할 수 있다. 학부 전자기학에서는 여기까지 확장되지만, 수험 단계에서는 우선 정전계와 정상자계의 성분 연속 여부를 정확히 판별하는 편이 점수에 더 직접적이다. 문제를 보면 먼저 경계면의 법선 방향과 접선 방향을 스스로 표시해 두는 습관이 좋다.
경계조건의 핵심만 정리
전계: 수직 성분은 D가 표면전하에 의해 불연속, 접선 성분은 E가 연속이다.
자계: 수직 성분은 B가 항상 연속, 접선 성분은 H가 표면전류에 의해 불연속이다.
선형 매질에서는 D = εE, B = μH 를 써서 경계조건을 E와 H 문제로 바꾼다.
도체 표면 정전계에서는 표면 접선 전계가 0, 전계는 표면에 수직이다.
시험에서는 D와 E, B와 H의 연속 대상을 서로 바꿔 적는 실수가 가장 많으니 성분별로 묶어 기억해 두면 헷갈림이 크게 줄어든다.